第一題是一道代數題,an是一道多項式之和,求證:當正整數n≥2時,a(n+1)<an。
剛看見這題的時候,陸時羨還有些沒有思路,于是一下子就頓在那裡了。
畢竟純粹的代數題,非常考驗人的邏輯聯系思維能力。
難道連第一道證明題都做不出來?這已經是最簡單的了。
陸時羨忽然緊張起來,如果連第一題都做不出來,絕對是對他後面題目解答的一個巨大打擊。
他輕吐一口氣,慢慢迫使自己平靜下來。
越是緊張越不能着急。
陸時羨再次審題,忽然發現自己陷入了一個誤區,證明這種比大小的題目,何必将其分别代入後再比呢?
他隻需要轉換一下思維方式。
a與b比大小也可以轉換成a與b比差或者a與b比商。
如果a-b最後的結果大于零,或者ab的結果大于1,那就可以說明a大于b.
想到這,陸時羨的眼睛越來越亮。
他在草稿紙上飛快地驗算,對于an式,可以利用乘法分配律将n+1單獨分離出來。
再得出對任意的正整數n≥2,an-a(n+1)最後的簡化式。
最後證明簡化式大于零。
故a(n+1)<an。
此題得證。
将這道題解決,陸時羨長松一口氣,開始看下一題。
第二題是一道平面解析幾何。
題目大意是對勾函數和一條直線得到的兩個交點,然後求交點在對勾函數上兩條切線的交點軌迹是多少?
不得不說,如果邏輯思維能力不夠,光是看題目就足夠讓你看暈了。
不過說起來,這種題還是陸時羨的強項,他在數學裡最擅長的就是将圖形轉化成代數。
無非就是求交點的坐标。
根據給出的條件聯立方程組,由題意知,該方程在(0,+∞)上有兩個相異的實根x1、x2,故k≠1,且Δ(1)式=1+4(k?1)>0,兩個實根之和(2)式與之積(3)式都大于零。
由此可以得出直線的斜率k的取值範圍,最後對對勾函數進行求導
化簡得到直線l1和l2的方程(4)式和(5)式
(4)式-(5)式得xp的函數表達式(6)式
将(2)(3)兩式代入(6)式得xp=2
(4)式+(5)式得yp的函數表達式(7)式
将(2)(3)的組合式代入(7)式得2yp=(3?2k)xp+2,而xp=2,得yp=4?2k
根據斜率k的取值範圍2<yp<2.5
即點p的軌迹為(2,2),(2,2.5)兩點間的線段(不含端點)
陸時羨寫完這題,考試時間已經隻剩下四十分鐘了。
第二道大題還真的不難,思路很簡單,就是計算過程有些複雜,同時也比較費時間,光這一個題目就花了他幾十分鐘。
來不及吐槽,陸時羨趕緊望向第三大題,
設函數f(x)對所有的實數x都滿足f(x+2π)=f(x)。
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